壊れたクーラーでも大家さんに所有権があるため、勝手に処分することはNGです。自費だからと言って勝手に取り換えると後々のトラブルとなる場合があります。
引っ越しが決まり退去する時に壊れたクーラーを元に戻せは問題ありません。つまり、壊れたクーラーを保管しておく必要があります。
もしくは退去時に大家さんとの交渉次第にはなりますが、古い壊れたクーラーの価値を弁償する方法と新しいクーラーを置いて退去することにして、大家さんから利得分を支払ってもらうことが考えられます。どちらにしても差額をどう算出するかが問題になります。